Τα μαθηματικά της πανδημίας: Ερμηνεύοντας ορθότερα τα μεγέθη
Υπάρχει ένας μύθος από την Ινδία, με έναν τοπικό άρχοντα που λάτρευε το σκάκι. Ηταν μάλιστα τόσο καλός που δεν έβρισκε εύκολα αντίπαλο να τον νικήσει.
Μία μέρα συνάντησε έναν ξένο και του ζήτησε παίξουν μία παρτίδα. Για να τον προκαλέσει του είπε πως θα του δώσει, σε περίπτωση που νικήσει, όποια ανταμοιβή επιθυμεί.
Ο ξένος τον νίκησε και αντί για χρυσάφι του ζήτησε κάτι που έμοιαζε πιο απλό:
Η πληρωμή του ήθελε να είναι σε κόκκους ρυζιού, τοποθετώντας στο πρώτο τετράγωνο της σκακιέρας έναν κόκκο και κάθε φορά που περνούσε στο διπλανό τετράγωνο να διπλασίαζε την ποσότητα του προηγούμενου.
Ο άρχοντας συμφώνησε και ζήτησε να του φέρουν ένα τσουβάλι με ρύζι ξεκινώντας να τοποθετεί στην σκακιέρα κόκκους ρυζιού: 1 στο πρώτο τετράγωνο, 2 στο δεύτερο, 4 στο τρίτο, 8 στο τέταρτο κ.ο.κ…
Αρχικά έμοιαζε ότι το τίμημα που έχει να πληρώσει ήταν μικρό. Αλλά πολύ γρήγορα συνειδητοποίησε ότι δεν θα μπορούσε να γεμίσει τη σκακιέρα ακόμα και αν έδινε όλο το ρύζι που είχε στις αποθήκες του.
Για την ακρίβεια, το ρύζι που θα χρειαζόταν για να πληρώσει το χρέος του θα έφτανε για να σκεπάσει κατά πολύ, ολόκληρη την έκταση της Ινδίας και μάλιστα θα σχημάτιζε και ένα στρώμα που θα έφτανε το ένα μέτρο.
Για να παραχθεί τόσο ρύζι θα χρειαζόταν ορυζώνες με έκταση δύο φορές όση η επιφάνεια της γης, μαζί με τους ωκεανούς.
Στην ίδια λογική, την επόμενη φορά που θα διαπραγματευτείτε με έναν εργοδότη για την αμοιβή σας για μία τρίμηνη σύμβαση μπορείτε να του προτείνετε αντί για έναν μηνιαίο μισθό των 1.000€, που μάλλον θα του φανεί και υψηλός, η πληρωμή σας να γίνεται σε δόσεις ξεκινώντας με 1€ την πρώτη μέρα και διπλασιάζοντάς την αμοιβή σας κάθε τρεις μέρες.
Είναι σίγουρο ότι αν δεχτεί δεν θα μπορέσει να σας πληρώσει ποτέ γιατί το ποσό που θα σας οφείλει μετά από 90 μέρες θα είναι πάνω από ένα δισεκατομμύριο ευρώ!
Δεν υπάρχει κανένα τρικ στα παραδείγματα που αναφέρθηκαν παραπάνω. Όλα προκύπτουν από σχετικά απλές μαθηματικές αναγωγές και μπορούν να επιβεβαιωθούν κάνοντας απλές επαληθεύσεις.
Αν κάτι τα κάνει στα μάτια μας εντυπωσιακά είναι η δυσκολία που έχουμε να αντιληφθούμε την έννοια της εκθετικής μεταβολής.
Εξ ορισμού μια ποσότητα που αυξάνεται με ρυθμό ανάλογο με το μέγεθός της λέμε ότι αυξάνεται εκθετικά, σε αντιδιαστολή με κάποια ποσότητα που αυξάνει με έναν δοσμένο, σταθερό ρυθμό, που λέμε ότι αυξάνεται γραμμικά, έννοια με την οποία είμαστε σαφώς πιο εξοικειωμένοι και συνήθως συγχέουμε με την εκθετική αύξηση.
Αυτή η παρανόηση μπορεί να συμβαίνει ακούσια, μπορεί όμως και να χρησιμοποιείται εσκεμμένα.
Πριν από κάμποσους αιώνες όποιος τολμούσε να μιλήσει για αυτά, ίσως και να καιγόταν στην πυρά ως αιρετικός ή μάγος.
Η τεχνολογική ανάπτυξη όμως που συντελείται τους τελευταίους αιώνες οφείλεται σε κύριο βαθμό στην αποδοχή της επιστήμης, στην ανάπτυξη των μαθηματικών.
Στην καθημερινότητα της πανδημίας, τα μαθηματικά εμφανίζονται παντού.
Επιδημιολογικά μοντέλα που περιγράφουν την κατανομή των κρουσμάτων, την θνητότητα και τη θνησιμότητα, χρησιμοποιούνται καθημερινά από τους ειδικούς προσφέροντας τους σημαντική βοήθεια, ενώ ταυτόχρονα η επικοινωνία τους με τους πολίτες εκφράζεται συνεχώς με μεγέθη, δείκτες και ποσοστά.
Η εξάπλωση του Covid-19 και η επίδρασή του θα ήταν πολύ διαφορετική αν δεν είχαν εισαχθεί αυτά τα μαθηματικά μοντέλα, προσφέροντας τη δυνατότητα για καλύτερη ανάλυση των τάσεων και της δυναμικής σχετικά με την εξάπλωση.
Ομως ταυτόχρονα αναδεικνύεται και η ανεπάρκεια κατανόησης, από την πλευρά της επικοινωνίας, που οφείλεται σε ένα βαθμό στο φαινόμενο που είχε περιγράψει το 1988 ο J. A. Paulos ως «Αριθμοφοβία» (Innumeracy).
Εκεί είχε εντοπίσει τις παρανοήσεις και τα λανθασμένα συμπεράσματα που μπορούμε να οδηγηθούμε εξαιτίας της άρνησής μας να κατανοήσουμε αριθμητικά δεδομένα.
Τέτοιες παρανοήσεις μπορεί να γίνονται ακόμα και από άτομα υψηλού μορφωτικού επιπέδου καθώς ακόμα και κάποιοι που έχουν λάβει μαθηματική παιδεία μπορεί να συγχέουν απλές έννοιες, όπως την διαφορά της εκθετικής με τη γραμμική αύξηση.
Στην πραγματικότητα έχει καταγραφεί αυτή η αδυναμία.
Σε μελέτη που δημοσιεύθηκε το καλοκαίρι του 2020 στο PNAS και αφορούσε πληθυσμό από τις ΗΠΑ, καταδείχτηκε ότι η παρερμηνεία της έννοιας της εκθετικής αύξησης συνδέεται με την δυσκολία κατανόησης του ρυθμού της αύξησης των κρουσμάτων του Covid-19.
Προχωρώντας ένα βήμα παραπέρα, οι ερευνητές Joris Lammers, Jan Crusius και Anne Gast παρατήρησαν ότι αυτή η συμπεριφορά είναι πιο συχνή στους συντηρητικούς Αμερικανούς!
Ακόμα και οι δηλώσεις του Τραμπ και του Μπολσονάρο, που στηριζόμενοι σε αυτή την σύγχυση υποτιμούσαν δημοσίως την κρισιμότητα της κατάστασης παρουσιάζοντας τα αρχικά χαμηλά νούμερα των κρουσμάτων στις χώρες τους και υποτιμώντας τον ρυθμό αύξησης δηλώνοντας ότι δεν θα υπάρχουν πολλά κρούσματα, είχαν βασιστεί σε αυτή την παρανόηση.
Και φυσικά υπήρχαν άνθρωποι που δέχτηκαν αυτή την εικόνα ως αληθινή. Εξάλλου προερχόταν από τα πλέον επίσημα χείλη.
Η επικοινωνιακή τακτική έπεσε μονομερώς στα μέτρα προφύλαξης, με το πλύσιμο των χεριών και την απολύμανση επιφανειών, τις μάσκες και τον τακτικό αερισμό των κλειστών χώρων.
Ποτέ όμως δεν εξηγήθηκε επαρκώς, ώστε να γίνει κατανοητή από ακόμη περισσότερους, η ταχύτητα που μπορεί να πάρει η διασπορά των κρουσμάτων ώστε να γίνει σαφής η διάσταση που μπορεί να λάβει η πανδημία αν δεν επέμβουμε ώστε να μειώσουμε αυτό το ρυθμό.
Είναι απλοϊκή η προσέγγιση και δεν θα έπρεπε να περιμένουμε τις εικόνες με τα φέρετρα στους δρόμους για να πειστούμε, ότι αν και το ποσοστό θνητότητας είναι χαμηλότερο από άλλους ιούς –ο ιός Εμπολα, για παράδειγμα, εμφανίζει ποσοστά που κυμαίνονται ανά χώρα κοντά στο 50%– η δυνατότητα εξάπλωσης του Covid-19 μπορεί τελικά να οδηγήσει σε εκατόμβη θυμάτων, χωρίς να υπολογίσουμε και την επίδραση σε όσους αναρρώνουν αλλά συνεχίζουν να παρουσιάζουν προβλήματα υγείας.
Μια μετάλλαξη του ιού πυροδοτεί τη συζήτηση σχετικά με την κάλυψη που μπορεί να μας παρέχει το εμβόλιο. Και αυτή η ανησυχία είναι εύλογη.
Ομως ίσως θα έπρεπε να είμαστε ακόμα πιο ανήσυχοι και να μην παρασυρόμαστε από λανθασμένες εκτιμήσεις.
Μία μετάλλαξη που καθιστά τον ιό πιο εύκολο στην μετάδοση, μπορεί να αποδειχθεί χειρότερη από μία μετάλλαξη που θα είχε μεγαλύτερη θνητότητα.
Εδώ ακριβώς εντοπίζεται η διαφορά της εκθετικής μεταβολής που αφορά τη μετάδοση με τη γραμμική μεταβολή που αφορά τη θνητότητα.
Ας κάνουμε μία απλή άσκηση σε ένα υποθετικό σενάριο:
Αν έχουμε έναν ιό με ρυθμό μετάδοσης 1,1 και με θνητότητα 0,8% για ένα διάστημα 6 ημερών και 10.000 ανθρώπους που έχουν προσβληθεί.
Μετά από ένα μήνα θα περιμέναμε 1,15 x 0,008 x 10.000 = 129 θανάτους.
Τι θα συνέβαινε αν μια μετάλλαξη του ιού αύξανε την μεταδοτικότητα κατά 50%; Θα ήταν προτιμότερο αν είχαμε μια αύξηση της θνητότητας κατά 50%;
Είναι προφανές ότι αν η μεταδοτικότητα αυξηθεί κατά 50% ο ρυθμός μετάδοσης θα γινόταν 1,65 ενώ στην περίπτωση που αυξανόταν η θνητότητα με τον ίδιο τρόπο, θα διαμορφωνόταν στο 1,2%.
Οι αντίστοιχες πράξεις θα έδιναν μια διαφορετική εικόνα από εκείνη που ίσως να διαισθανόμαστε αρχικά: 193 θανάτους αν αυξηθεί η θνητότητα και 978 (!!!) αν αυξηθεί η μεταδοτικότητα.
Οι αριθμοί αυτοί εξυπηρετούν το παράδειγμα και δεν αντικατοπτρίζουν την κατάσταση του Covid-19 σήμερα καθώς δεν προέρχονται από κάποια βάση δεδομένων του Π.Ο.Υ. ή άλλου φορέα.
Δεν λαμβάνονται υπόψη φυσικά και άλλες παράμετροι όπως η επίδραση από την αύξηση των νοσηλευομένων στη λειτουργία των νοσοκομείων και στις υπόλοιπες ανάγκες των συστημάτων υγείας.
Καταδεικνύεται όμως η ανάγκη να κατανοούμε ορθολογικά την πληροφορία που λαμβάνουμε.
Αν αναλογιστούμε και τις υπόλοιπες διαστάσεις της πανδημίας αυξάνει κατά πολύ η πολυπλοκότητα κάθε υπολογισμού.
Στην πραγματική ζωή οι παράμετροι που εισέρχονται είναι περισσότερες από όσες μπορούμε να διαχειριστούμε.
Η στήριξη με ουσιαστικό τρόπο του κόσμου σε αυτή τη δύσκολη συγκυρία δεν μπορεί να γίνει με αποσπασματικά μέτρα ζητώντας από τους πολλούς να επωμιστούν δυσανάλογα το βάρος από την κατάσταση που έχουμε βρεθεί με δεδομένο ότι τίποτα δεν μπορούμε να πούμε με βεβαιότητα σχετικά με το επόμενο διάστημα, παρά μόνο να αναλωνόμαστε σε ευχολόγια.
Η επίκληση της ατομικής ευθύνης ως πανάκεια στην κατάσταση που διαμορφώνεται είναι εγκληματική.
Πως μπορεί ένα κράτος να απέχει από την ευθύνη για την ασφάλεια των πολιτών του;
Στο αρχικό παράδειγμα με το ρύζι και την σκακιέρα, ο άρχοντας ήταν τυχερός γιατί ο διαβάτης που απαίτησε αυτή την υπέρογκη αμοιβή αποκάλυψε ότι ήταν ο θεός Κρίσνα και συμβιβάστηκε με άλλη αμοιβή.
Μέχρι και σήμερα οι κάτοικοι εκείνης της περιοχής της Ινδίας προσφέρουν σε κάθε ξένο που περνάει από το σπίτι τους ένα γλυκό με ρύζι –που μοιάζει με το ρυζόγαλο– ξεπληρώνοντας ακόμα το χρέος που δημιούργησε ο άρχοντας πριν από αιώνες.
Κάθε παραλληλισμός με τις πληγές που μπορεί να αφήσει μια ανεξέλεγκτη αύξηση των κρουσμάτων θα ήταν τραγική.
Για επιπλέον διάβασμα:
- Correcting misperceptions of exponential coronavirus growth increases support for social distancing. Joris Lammers, Jan Crusius, Anne Gast: Proceedings of the National Academy of Sciences Jul 2020, 117 (28) 16264-16266.
- The Rules of Contagion: Why Things Spread – and Why They Stop. Adam Kucharski, Profile Books Ltd; 2020.
- Innumeracy: Mathematical Illiteracy and its Consequences. John Allen Paulos, Hill and Wang; 1988.
